曹亮吉/古代四大文明中，中国、埃及、巴比伦的数学发展较为人所熟悉，现在我们来看看印度；然而要读印度的数学，我们必须也要了解印度的历史。
1920年代，在印度河流域发现了古代的遗迹，使印度的历史可追溯到四千五百年前。其后的挖掘使地区扩张到现今印度的西北部与西部。在诸多的遗迹中，位于现在巴基斯坦境内的 Mohenjodaro 及 Harappa 两城市最为有名。这些城市有整齐的街道，完整的排水系统；住宅也有贵族的及各种职业人士的区分。此外还有大澡堂、谷仓等公共建筑，也有铜、青铜、铅或锡制的器皿。原住民有象形文字，可惜至今还无法解读，所以无法直接了解这支称为 Harappa 文化的历史，以及我们所关心的数学发展。然而要支撑这样高度的文明，不用说，最基本的数学是已经发展了的。
约在三千七百年前，Harappa 文化已开始式微。等到约三千五百年前，亚利安人从中亚进入印度的恒河流域时，这支文化已经消失殆尽。
亚利安人发展了世袭的种姓制度，婆罗门（教士）与武士享有统治权。婆罗门掌管知识，并且不让平民有一丝一毫的教育；为此，他们反对写作，而婆罗门教圣诗吠陀 (Veda) 则以口述承传。亚利安人在印度头一千年的历史就因文献不足而不清不楚。在数学方面，我们只能从吠陀的经文中看出，他们和别的民族一样，也在天文方面花上一些心思。
西元前六世纪，佛教兴起，屏弃了婆罗门教的闭锁性格，于是文学萌芽，历史也开始有了可靠的文献。大概也就在这个时候，出现了一类称为 Sulvasutra（用绳法则）的作品。在这些作品中，叙述了如何利用绳索，使祭坛的造型能符合宗教上的一些几何的要求，同时我们也可看出，他们已经熟知了勾股定理。
西元前326年，亚历山大大帝曾经征服了印度的西北部，使得希腊的天文学与三角学传到了印度。紧接着亚历山大大帝之后，Maurya 王朝（西元前320～185年）兴起，在其阿育王时代（西元前272～232年）势力达到顶峰，领土不但包括印度次大陆的大部分，而且远如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教为国教，每到一重要城市总要立下石柱。从数学的眼光来看，这些石柱让人感到与趣，因为在石柱上我们可以找到印度阿拉伯数字的原形。
Maurya 王朝之后，印度又分崩成许多小王国，直到西元第四世纪，印度北部才又统一在 Gupta 王朝（320～550年）之下。在 Gupta 时期，许多富有城市兴起，许多大学成立，使得印度成为文化的中心。印度史上第一件天文方面的重要著作：《Surya Siddhanta》（来自太阳的知识），就产生在第五世纪初。从此以后的许多天文作品都含有三角学及三角函数。也就是从这时期开始，数学不再依附宗教礼节，而变成天文学的重要工具。
从 Gupta 王朝的晚期开始，印度又一再受到外族入侵、内部纷争的影响。从来就没有独立统一的局面。然而从六世纪开始到十二世纪为止，却产生了几位值得注意的数学家，如 Aryabhata（六世纪）、Varahamihira（六世纪）、Brahmagupta（七世纪）、Mahavira（九世纪）、Bhaskara（十二世纪）等。
从八世纪开始印度教兴起，同时回教势力也开始侵入，佛教在两者夹攻之下逐渐式微。到了西元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。这种宗教信仰的变迁，对印度的文化是有非常具大的影响的。印度的数学从此之后就停止不前。
十六世纪初，中亚的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀儿帝国。到了十九世纪，英国的势力完全取代了蒙兀儿，成为印度的主宰者。这一段时期，印度虽然有比较统一的局面，但数学方面仍然没有进展。因此十二世纪的 Bhaskara 可以说是印度传统数学的最后一人。直到二十世纪初，印度数学会成立（1907年），出版学会杂志（1909年），而且又产生了数学怪才Ramanujan（1887～1920年， 1 ），印度的数学终于渐有起色，而投入了世界数学的发展洪流中。
在印度的传统数学中，三角学与几何学是深受希腊的影响的。天文学家Varahamihira说：“希腊人虽然思想不正（异教徒），但我们该尊敬他们，因为他们有着科学的训练而凌驾他人。一个婆罗门在思想纯正之外，如果还知晓科学，岂不更好？”虽然如此，印度人却只学会把三角及几何应用到天文学或简单的面积计算。于理论则毫无兴趣，所以三角与几何学在他们手中，几乎未曾有过有意义的进展。更有进者，有时他们犯了错误而不自知，譬如许多数学家认为四边形的面积公式，而忘了这只适用于圆的内接四边形。
然而印度的传统数学在算术及代数方面则有相当的成就；这些包括建立完整的十进位记数系统，引进负数的观念及计算，使代数半符号化，提供开方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。
印度人要陈述数学题目时，常把它弄得幻想有趣，或者编成诗句，或者加上历史背景，使得题目能够吸引人。下面是个例子：
在某个绝壁顶上，住着两位苦行者。其中一位因拥有妖术，可以在空中行走。他从山顶垂直升空一段距离，然后对准某一小镇‘走’去。另一位苦行者，则从山顶上下来，再向小镇走去。结果两者的距离相同。假设……，问……？
另一个例子：
△
林子里头树木繁茂
累累花果树枝拂地
柠檬香蕉棕榈芒果
鹦鹉布谷叫声不绝
池塘莲花蜜蜂环绕
疲累旅者欣然入林
▽
今有 63 堆数目相同的香蕉，另加7根香蕉，平均分给 23 位旅者，刚好分完。请问一堆香蕉要有多少根？
如果每堆香蕉有 x 根，每人分得 y 根，那么要解的就是 63x+7=23y 这样的二元一次不定方程式。他们的解法是这样的：将 63 与 23 做辗转相除
……
然后根据相除的结果把 63/23 写成连分数
……
将最后的 1/5 去掉，则右边的分数为 11/4，它是 63/23 的最后第二个渐近分数。由于 63 × 4 – 23 × 11 = -1，两边各乘以 7，移项后就得63 × 28+7 = 23 × 77；这是一个答案。这种求二元一次不定方程式 ax+by=c 的方法，是由 Aryabhata 引入，再由后继的数学家改进的。这种方程式若有解的话，解法的要点在于求 a/b（可假设 a，b 互质）的连分数展开，得最后第二个渐近分数 q/p，则 ，再乘以适当的倍数就好了。
除了一次不定方程式外，现在世界通用的印度阿拉伯数字在其发源地的历史，也值得做深入一点探讨。
前面说过，在西元前五百年之前，有关印度的文献是不足的。因此我们只能从后来的文献推测早期印度人的数字观念。
印度人对抽象的数目有所偏好，他们认为要尊崇神只圣人，最好赋予一些数目。关于佛祖，有如下的说法：“佛祖有32种主要象征及80种次要象征来代表他；他的母亲32种，他要出生的房子8种。他的母亲 Maya-Devi 王后有一百万名侍女。成千上万的圣者智者会来朝佛。他的王座是花了成亿个 Kalpas 世代（一世代为43亿2千万年）的精工细琢的成品。在孕成佛祖那晚绽开了的莲花，其花瓣伸展到6千8百万哩之外。”
在记述佛祖行谊的《Lalitavistara》中，提及佛祖青年时，为了求婚而展现的数数才能。他不但能数到10的421次方，而且也能数出三百万个世界中的原子总数2 。在印度的古典文学名著《Mahabharata》（Bharata 宫廷故事）中，也时常提及古代英雄在数数目方面的本事。
不论这些故事的真实性，我们可确定它们的作者对数目都有丰富的想像力，而且对十进位以及数数目可以无穷延伸的原理，都有了相当的了解。然而在古代的梵语中，20、30、……、90，在进位体系未成熟前就已出现，其说法及符号与个位数的没有绝对的关联，这是从有位名进步到无位名的十进位位置定值法的一个障碍。一直到西元六百年左右，九个个位数字加上一个零就可以表示一切数目的想法，才趋于成熟。
印度的梵文早期用的是婆罗门文字，因此数字也是婆罗门。在九世纪阿拉伯人 Alkwarizmi 正式引介到阿拉伯之前，这些数字已经有了一些演变，它们可以用 Gvalior 庙宇上的刻文为代表。Gvalior 数字在印度本土则再次演变成 Devanagari 数字（见图二）。Devanagari 是一种字母，现在的印度文及相关的语系都是用其衍生的字母的。Gvalior 数字传到阿拉伯，其后分成东、西两支，西阿拉伯所用的数字终于演变成今日通行于世界的阿拉伯数字（见图三）。
图三：印度阿拉伯数字的演变系谱
现在的印度大体上用的是阿拉伯数字，而古老的 Devanagari 数字虽然偶而用及，但其主要的流行地区是在尼泊尔等地 3 。
（部分图片见原文）
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_01_1/index.html
